Rotation、Grad and Divergence

梯度、散度、旋度

梯度、散度、旋度是研究向量场的几个重要的量，它们表征着向量场的性质，在理论研究中有着重要的地位。梯度表示标量函数增加或减少的方向；散度表示向量场远离源的程度；旋度则表示向量场围绕某个中心旋转的程度。

梯度、散度、旋度的计算公式

$$\nabla A=(\frac{\partial A}{\partial x},\frac{\partial A}{\partial y},\frac{\partial A}{\partial z})\\ \nabla\bullet A=(\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z})\\ \nabla \times A=(\frac{\partial A_{y}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial y},\frac{\partial A_{z}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial z},\frac{\partial A_{x}}{\partial y}-\frac{\partial A_{y}}{\partial x})$$

梯度、散度、旋度的嵌套运算

1. 证明旋度的散度=0（$\nabla\bullet (\nabla\times A)=0$）

   $$\begin{align} \nabla\bullet (\nabla\times A)=\nabla\bullet(\frac{\partial A_{y}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial y},\frac{\partial A_{z}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial z},\frac{\partial A_{x}}{\partial y}-\frac{\partial A_{y}}{\partial x})\\ =\frac{\partial^{2} A_{y}}{\partial z \partial x}-\frac{\partial^{2} A_{z}}{\partial y \partial x}+\frac{\partial^{2} A_{z}}{\partial x \partial y}-\frac{\partial^{2} A_{x}}{\partial z \partial y}+\frac{\partial^{2} A_{}x}{\partial y \partial z}-\frac{\partial^{2} A_{y}}{\partial x \partial z}\\ =0 \end{align}$$

2. 旋度的梯度（$\nabla (\nabla\times A)$）

   $$\nabla (\nabla\times A)=\nabla(\frac{\partial A_{y}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial y},\frac{\partial A_{z}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial z},\frac{\partial A_{x}}{\partial y}-\frac{\partial A_{y}}{\partial x}) \\=(\frac{\partial^{2} A_{y}}{\partial z \partial x}-\frac{\partial^{2} A_{z}}{\partial y \partial x},\frac{\partial^{2} A_{z}}{\partial x \partial y}-\frac{\partial^{2} A_{x}}{\partial z \partial y},\frac{\partial^{2} A_{}x}{\partial y \partial z}-\frac{\partial^{2} A_{y}}{\partial x \partial z})\\$$

3. 旋度的旋度（$\nabla\times (\nabla\times A)$）

   $$\nabla\times (\nabla\times A)=\nabla\times(\frac{\partial A_{y}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial y},\frac{\partial A_{z}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial z},\frac{\partial A_{x}}{\partial y}-\frac{\partial A_{y}}{\partial x})\\ =(\frac{\partial^{2} A_{z}}{\partial x \partial z}-\frac{\partial^{2} A_{x}}{\partial z^{2}}-\frac{\partial^{2} A_{x}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} A_{y}}{\partial x \partial y},\frac{\partial^{2} A_{x}}{\partial y \partial z}-\frac{\partial^{2} A_{y}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} A_{y}}{\partial z^{2}}+\frac{\partial^{2} A_{z}}{\partial z \partial x},\frac{\partial^{2} A_{y}}{\partial z \partial y}-\frac{\partial^{2} A_{z}}{\partial y^{2}}-\frac{\partial^{2} A_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} A_{x}}{\partial z \partial x})$$

4. 梯度的旋度=$\overrightarrow{0}$（$\nabla\times(\nabla A)=0$）

   $$\nabla\times(\nabla A)=\nabla\times(\frac{\partial A}{\partial x},\frac{\partial A}{\partial y},\frac{\partial A}{\partial z})\\ =(\frac{\partial^{2}A}{\partial y \partial x}-\frac{\partial^{2}A}{\partial x \partial y},\frac{\partial^{2}A}{\partial x \partial z}-\frac{\partial^{2}A}{\partial z \partial x},\frac{\partial^{2}A}{\partial x \partial y}-\frac{\partial^{2}A}{\partial y \partial x})\\ =(0,0,0)梯度的梯度（略）$$

5. 梯度的梯度（略）

6. 梯度的散度（$\nabla\times(\nabla A)$）

   $$\nabla\times(\nabla A)=\frac{\partial^{2}A}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}A}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}A}{\partial z^{2}}$$

7. 散度的梯度（$\nabla(\nabla\bullet A)$）

   $$\nabla(\nabla\bullet A)=\nabla(\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z})$$

有关场：

1. 若一个向量场的散度=0，则这个场是无源场；若一个向量场的旋度=0，则这个向量场是无旋场又称保守场。

1. 一个旋度场的散度=0，可知旋度场是一个无源场；一个梯度场的旋度=0，可知梯度场是一个无旋场(保守场)。综上可知，仅通过散度无法确定一个向量场，因为一个旋度场叠加上一个有源场不改变这个场的散度；同样仅通过旋度也无法确定一个向量场，因为一个有旋场叠加上一个梯度场不改变其旋度。

1. 散度具有指向的意义，对于匀强的向量场，散度等于零意味着向量场的方向是一致的。

1. 散度的梯度用于表示源的分布情况。在实际中物质的扩散可以用散度的梯度来刻画，表示物质扩散最快的方向。（即通量密度最大的地方）。

1. 旋度的分量具有实际意义，对于旋度的x分量表示yoz平面的旋转程度，其它分量也是如此。

​ 如图1为向量场$A=-x^{2}\overrightarrow{j}$,若把一块小薄板放在图的右侧，则薄板会顺时针偏转；若放在左边则逆时针偏 转。根据右手定则，右边的旋度为z轴负向；左边的旋度为z轴正向。可以想象旋转程度与x变化一个微小的 量时A的变化程度的极限有关。因为A无x的分量所以，所以旋转程度取决于y分量的变化率，即 $(\nabla\times A)_{z}=\frac{\partial A_{y}}{\partial x}$

​ 如图2所示的向量场可分解$A_{x}$为和$A_{y}$两部分，每一部分分量型如图1。此时$(\nabla\times A)_{z}=\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial y}$，从推导 可知$\nabla\times A$的x、y、z分量分别表示yoz平面、xoz平面以及xoy平面的旋转程度。

1. 亥姆霍兹定理

   若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间内，则矢量场由其旋度、散度和边界条件唯一确定；且可表示为一个标量场的梯度和一个矢量场的旋度之和。

   $$\overrightarrow{F}=-\nabla\varphi+\nabla\times\overrightarrow{A}$$

   换言之，矢量场可以有一个有源场和一个有旋场以及边值条件唯一确定。其中标量场的梯度为无旋场（有源场），向量场的旋度为有旋场（无源场）。

1. 有关旋度的旋度的恒等式

   

   

   

2. 电磁场理论